Bir başka hileli para sorusu

Geçenlerde bir arkadaşım ilginç bir soru sordu, Bayesçi çıkarımın nasıl işlediğine dair güzel ve sade bir örnek olduğu için hoşuma gitti. Soru basit görünmesine rağmen çözümü karmaşık işlemler gerektiriyor. Soru şu:

Hileli bir para $N$ kere atılmış ve 4 kere tura gelmiş. Tura gelme olasılığı $q$ ise $N$'in alabileceği en olası değer nedir?

Benim cevabım da şu şekilde. $q^4(1-q)^{N-4}$ ilk 4 atışta tura gelme olasılığıdır, ve 4 adet tura gelen kombinasyonların sayısı da ${N \choose 4}$. Yani $N$ atışta 4 kere tura gelme olasılığı: $$ {N \choose 4} q^4(1-q)^{N-4} $$ Bu ifadeyi (hedef fonksiyonumuzu) maksimize edecek $N$ değerini arıyoruz. Usulüne uygun yazarsak: $$ \newcommand{\argmax}[1]{\arg\,\max\limits_#1\,} N^* = \argmax{N}{N \choose 4} q^4(1-q)^{N-4} $$ Normalde en büyük/küçük değeri aldığı yeri bulmak için $N$ye göre türev alıp sıfıra eşitleriz. Fakat bu ifadenin türevini alması zor. Bu yüzden ifadenin ilkin $\log$unu alıp ardından türevini alacağız. $\log$ monoton artan bir fonksiyon olduğundan maksimumun nerede olduğu değişmeyecektir. Ayrıca toplamdaki $N$ içermeyen terimlerden de kurtulabiliriz. Böylece aşağıdaki ifadeyi elde ederiz: $$ \begin{align*} N^* &= \argmax{N} \log{N \choose 4} + 4\log(q) + (N-4)\log(1-q) \\ N^* &= \argmax{N} \log(N) + \log(N-1) + \log(N-2) + \log(N-3) +\\ &\qquad{} (N-4)\log(1-q) \end{align*} $$ Şimdi $N$ye göre türev alıp sıfıra eşitlersek: $$ \frac1{N} + \frac1{N-1} + \frac1{N-2} + \frac1{N-3} + \log(1-q) = 0 $$ Bu çok daha güzel görünüyor. $N$ için kapalı yapıdaki çözüm oldukça korkunç ve çirkin, buradan görebilirsiniz. Aslında nümerik bir yöntem ile çözüm kolay, bu türde denklemleri çözmek için Newton yöntemi gibi birsürü nümerik yöntem bulunmakta. $N$in 4 kökü var, paranın en az 4 kere atılmış olması gerektiğini bildiğimizden 3'ten büyük kökü seçeriz.

Son olarak, $N$ ayrık (discrete) olmasına rağmen sürekliymiş gibi işlemleri yaptık. Bu yüzden denklemin çözümü olarak örneğin 9.4127 gibi küsüratlı bir rakam elde edeceğiz. Aşağıya ve yukarıya yuvarlayıp, hangi değerin -9 ya da 10un- bizim hedef fonksiyonumuzu maksimize ettiğini kontrol etmeliyiz.

Örneğin adil bir para için, yani $q=0.5$ için çözersek $N\approx 7.48449$ elde ederiz. 7 ve 8i ayrı ayrı hedef fonksiyonumuzda yerine koyarsak iki değerin de eşit olduğunu görürüz. Yani 7 de 8 de eşit derece olası.

There is also English version of this post.