Lagrange Çarpanı - Değişik bir bakış

Lagrange Çarpanı yöntemi genelde 2 fonksiyonun gradyanlarının birbirine paralel olmasıyla açıklanır. Bu yazıda maksimizasyon/minimizasyon problemlerinde Lagrange Çarpanları kullanımının biraz daha garip fakat daha kolay bir çıkarımından bahsedeceğim.

Diyelim ki elimizde bir $f(x, y)$ fonksiyonu var ve bu fonksiyonun aldığı en büyük değeri bulmaya çalışıyoruz. Matematiksel olarak ifade edecek olursak:
$$
\max\limits_{x,y} f(x,y)
$$
Ve diyelim ki çözümün $g(x, y)=c$ gibi bir koşulu da sağlaması gereksin. Eğer böyle bir kısıtımız olmasaydı $f()$in kısmi türevlerini alıp sıfıra eşitlerdik ve çözüme ulaşırdık (fonksiyon limitlerde sonsuza büyümüyorsa tabi).

Şimdi bu kısıtımızı denkleme yedirelim. Maximize edeceğimiz fonksiyona $0$ değerini eklemek ya da çıkartmak ifadeyi maximize eden değerleri değiştirmeyecektir. Yani:
$$
\max\limits_{x,y} f(x,y) = \max\limits_{x,y}  \left[ f(x,y) + 0 \right]
$$
Aynı şekilde sıfırın herhangi bir katını da ekleyip çıkarmam sonucu değiştirmeyecektir:
$$
\max\limits_{x,y} f(x,y) = \max\limits_{x,y}  \left[ f(x,y) + k\cdot 0 \right]
$$
$g(x, y)=c$ olan kısıtımızı da düzenlersek  $0=g(x, y)-c$ elde ederiz. Sıfırı yerine koyarsak üstteki denklemde:
$$
\max\limits_{x,y} f(x,y) = \max\limits_{x,y}  \left[ f(x,y) + k(g(x, y)-c) \right]
$$
Elde ettiğimiz ifade Lagrange Çarpanları ifadesi; $k$lar da Lagrange Çarpanı denilen şeyler. Kısıtmızı esas başladığımız maksimizasyon problemine Lagrange Çarpanlarını kullanarak yedirmiş olduk. Şimdi bu elde ettiğimiz yeni denklemin x'e ve y'ye göre kısmı türevini alıp sıfıra eşitleyip kısıtımıza göre en büyük aldığı değeri bulabiliriz.