Bir noktaya, doğrunun üzerindeki en yakın nokta

Problemimiz şu: 3 boyutta, bir doğrunun üzerindeki iki noktayı biliyoruz (P1 ve P2). Ve doğrunun üzerinde olmayan bir noktamız var (P3). Bu doğru üzerinde öyle bir nokta (P) arıyoruz ki, P-P3 uzunluğu en az olsun.

Daha anlaşılır olması için şekille gösterelim:

Bir noktaya, dogrunun uzerindeki en yakin nokta
  1. Aradaki mesafenin en az olması için \small \vec{P_1P_2} vektörü \small \vec{P_3P} vektörüne dik olmalıdır.
  2. 2 vektörün birbirine dik olmasının koşulu skaler çarpımlarının (dot product) 0 olmasıdır. Buna göre:
    \normalsize \vec{P_1P_2}\cdot \vec{P_3P} = 0\\(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)\cdot(x_P-x_3,y_P-y_3,z_P-z_3) = 0
  3. Ayrıca P noktasının P1 ve P2 noktalarından geçen doğru olduğunu biliyoruz. Bu koşulun denklemini yazarsak:
    \normalsize (x_1,y_1,z_1) + t((x_2,y_2,z_2)-(x_1,y_1,z_1)) = (x_P,y_P,z_P)
    Bu denklemi düzenleyip açarsak, elimizde 3 tane farklı denklem olur:\normalsize x_P=x_1+t(x_2-x_1)\\y_P=y_1+t(y_2-y_1)\\z_P=z_1+t(z_2-z_1)
  4. Elimizde 4 tane bilinmeyen \small (t,x_P,y_P,z_P) ve toplam 4 tane denklem var (2. adımdan 1 tane, 3. adımdan 3 tane). Biraz uğraştırsa da elde çözülebilir. Lineer cebir ve bilgisayar gibi araçlar kullananlar için denklem sisteminin düzenlenmiş hali:
    en son denklem
    Denklem sayfanın dışına taştığı için, küçülttüm. Özgün halini görmek için üstüne tıklayabilirsiniz.

Peki bütün bunlar gerçek hayatta ne işinize yarayacak? Büyük ihtimalle hiç bi işinize yaramayacak, ama benim işime bir kaç yerde yaradı. Belki gerçekten bu denklemlere ihtiyacı olan birileri var orada bir yerlerde. Kim bilir.. Sevgiyle kalın efendim.

October 10, 2006

* Yazar: bitkidoku
Kategori: geek, matematik
* 1 Yorum